Fizik / Astrofizik Popüler Bilim Tüm Yazılar

Basit Matematik İşlemiyle Evrenin Yasalarını Bulmak -2

Hazırlayan: Alperen Erol

Bir önceki yazımızda bir sarkacın periyodunu, birkaç basit varsayım ve matematik işlemleri ile bulmuştuk.

Bu varsayımları ve matematiksel sadeleştirmeyi yapabilmemizin arkasındaki neden sistemimizin birinci dereceden lineer difransiyel denklem ile ifade edilmesidir.

Fakat evrende maalesef herşeyi basit bir difransiyel denklemle ifade etmek imkansızdır. Doğada karşılaştığımız bazı olaylar lineer olmayan (non-linear) difransiyal denklemlerle ifade etmek gerekir. Konuyu daha ileri taşımadan önce yukarıda bahsettiğimiz şeyleri denkleme dökmede fayda vardır.

Diferansiyel denklem.

Eşitlikte her iki taraftaki kütle ve uzunluk ifadeleri sadeleştiriyor.

Buradaki denklem matematik geçmişi olmayan birine karmaşık gelse de ifade edilen şey açısal ivmelenmenin sarkacın uzunluğu ve kütleçekim ivmeyle ilişkilendirilmesidir.  Önceki yazımıza bakarsanız biz de buna benzer ifadeyi  basitleştirerek bulmuştuk.  Eğer yukarıdaki denklem bizim elimize verilse ve sarkacın açısal hareketini ifade eden Θ cinsinden denklemi yazmamız istense o halde şuandaki anlık zamanda konum ve hızını bilirsek sarkacın hangi zamanda hangi konumda olacağını deterministik  olarak belirleyebiliriz. Burada demek istediğim şey difransiyel denklemlerin çözümleri başlangıç koşullarına bağlıdır. Başlangıç koşullarındaki değişiklik difransiyel denklemimiz aynı olsa da bize farklı sonuçlar verecektir.

Şimdi gelelim lineer olmayan difransiyel denklemlere…

Kısaca değinmek gerekirse eğer yukardaki denklemde eşitliğin solunda bulunan terimi Θ ile çarptığımızda difransiyel denklemimiz artık lineer olmaktan çıkar. Bu difransiyel denkemleri el ile çözmek çok zordur o yüzden bilgisayarlara başvururuz.

Şimdi basit sarkacımıza birkaç eklenti yapıp onu daha karmaşık hale getireceğiz. Sarkacın ucundaki nesneye bir başka kolu monte ediyor ve bu kolun sonuna da nesne koyuyoruz. Ortaya double pendulum olarak bilinen çifte sarkaç çıkıyor.

İki Değişkenli Sarkaç

Sarkacımızıa yeni bir eklenti yapıp daha karmaşık hale getiriyoruz. Bu eklenti yeni bir kütle.

İlk sistemimiz sadece 1 derece özgürlüğe sahipti. Şimdiki sistemimiz ise 2 derece özgürlüğe sahiptir. Bu yüzden bu sistemin denklemini yazmak için birbirine bağlı 2 farklı difrensiyal denkleme ihtiyacımız var. Ayrıntıya girmeden denklemleri verirsek

iki değişkenli sarkaç

İki değişkenli sarkacımızı matematiksel olarak ifade etmek istersek karşımıza karmakarışık bir denklem çıkıyor. Bu denklem ivmelenmeyi gösteriyor.

Durun pes edip sayfayı kapatmayın hemen! Basitçe anlatmak gerekirse bu iki denklem tıpkı birincisinde olduğu gibi ivmelenmeyi gösterir ama birinci sistemden tek farkı her iki denkleminde birbine bağlı olmasıdır.

Serimizin bir sonraki yazısında ise çifte sarkaçların birinci sistemin aksine nasıl kaotik bir yapıda olduğuna bakacağız.

Alperen EROL


Amacınıza uygun ve kaliteli teleskop ya da dürbünü, en uygun fiyata sadece Gökbilim Dükkanı‘nda bulabilir, satın alma ve kullanım sürecinde her zaman bize danışabilirsiniz
GÖKBİLİM DÜKKANI’NA GİT

Hep daha fazla okumak gerekir...

Yazar Hakkında

Alperen Erol

Avustralya’nın Monash Üniversitesi’nde makine mühendisliği öğrencisiyim. Astronomiye küçüklüğümden beri hayranlık duysam da ilk resmi tanışmamız Stephen Hawking’ in kitaplarını okumakla başladı. Ve bildiklerimi burada sizlere aktarmaya çalışıyorum.