Fizik / Astrofizik Tüm Yazılar

Gök Mekaniği: Eğrisel Hareketin Kinematiği

Hazırlayan: Ögetay Kayalı

Bundan bir önceki giriş yazımızda Kepler yasaları ve Newton’ın hareket kanunlarını vermiş, bunlardan yola çıkarak gök mekaniklerini elde edeceğimizi söylemiştik. Bu yazıda eğrisel hareketin geometrisini gösterip; konumdan hıza, hızdan ivmeye geçişi nasıl yaptığımızı ele alacağız. Böylelikle yörünge üzerindeki hareketin teğetsel ve dikine bileşenlerinin neler olduğunu göreceğiz.

Gok_mekanigi_figur_1

Şekil 1

Kartezyen koordinat sisteminde üç boyutlu referans sisteminde C eğrisi boyunca hareket eden P (x,y,z) noktasını ele alalım. Zamana bağlı olarak s yay uzunluğunun artacağını görebiliriz. Başlangıçta s=0 iken, ok yönünde hareket ettikçe s yay uzunluğu da artacaktır. Buradan ilerideki bir noktayı da P’ (x’,y’,z’) olarak adlandıralım. Kartezyen koordinat sisteminde kullandığımız i, j, k birim vektörlerini kullanarak konum vektörü r‘yi aşağıdaki gibi ifade edebiliriz.

Gok_mekanigi_r

Hız, konumun zamana göre değişimi olduğundan dolayı r’nin t’ye göre türevi bize hızı verecektir. (Burada zamana(t) göre türevi üste bir nokta olarak gösteriyoruz)

Gokmekanigi_hiz

Öyleyse hızı aşağıdaki şekilde yazabiliriz:

Gokmekanigi_hiz2

İvme ise hızın zamana göre değişimi olduğundan, v’nin t’ye göre türevi ya da r’nin t’ye göre ikinci türevi olarak ifade edilebilir.

Gokmekanigi_ivme

Öyleyse ivme(a) aşağıdaki şekilde yazılabilir:

Gokmekanigi_ivme2

P noktasından P’ noktasına Δt zaman aralığında orijine uzaklığın değişeceği açıktır. Eğer r konum vektörünün ucundan P’ noktasına Δr vektörünü çizersek bu durumda orijinden P’ noktasına olan uzaklık iki vektörün toplamından dolayı r+Δr kadar olur. Bu arada yay üzerinde de Δs kadar bir değişim olduğuna dikkat edelim (Şekil 1)

Buraya kadar ele aldıklarımız eğrisel hareketin geometrisine dair birkaç vektörü göstermek ve konum ile hızın zamana göre değişimini incelemekti. Şimdi bilgilerimizi birleştirelim.

Hız ve ivme için aşağıdaki ifadeleri kullanmamız mümkündür:

Gokmekanigi_hiz3

Gokmekanigi_a_v_lim

 

Hız için yukarıdaki verdiğimiz denklemi daha farklı bir şekilde de yazabilirdik. Eğrisel hareket boyunca elimizdeki parametreler Δr, Δs ve Δt olduğuna göre bu üçü arasında bir ilişki yakalayabiliriz.

Gokmekanigi_limit1

En sağdaki ifadeyi inceleyelim. Δs ile Δt arasındaki ilişki bize oldukça tanıdık bir ifadedir. s bir yay uzunluğu, bir konum, olduğuna göre bunun zamana göre değişimi bize P noktasındaki hızı (v) verir. Δr/Δs limiti ise C eğrisine P noktasında teğet olan teğet birim vektörü (UT) ifade eder. Bunun için aşağıdaki şekli inceleyelim.

 

Gokmekanigi_sekil2

Şekil 2

P noktasındaki teğet birim vektörü  (UT) ile gösterdik. Cisim eğri üzerinde hareket ederken teğetin yönünün de değişeceğini görebiliriz. Eğer P’ noktasındaki teğet birim vektörü bulmak istersek, yine basit bir vektör toplamı işlemi yapabiliriz. P noktasında kesikli çizgilerle gösterilen vektör P’ noktasındaki teğet birim vektördür (P noktasına hayali olarak taşıdık). Görüyoruz ki; UT vektörüne ΔUT gibi bir vektör eklersek P’ noktasındaki teğet birim vektörü elde edebiliriz. O halde P’ noktasındaki teğet birim, vektör UT+ΔUT  olur. Bu noktadan sonra merak etmemiz gereken şey, teğet vektöründeki değişimin nasıl olduğudur. Bariz bir şekilde değişmesi gerektiğini görüyoruz, öyleyse nasıl değiştiğini bilmemiz gerek.

Yukarıdaki limit işleminden elde edeceğimiz ifade denklemin sol tarafı için; Δr’nin Δt‘ye göre değişimi olan V‘yi verirken sağ tarafı için Δs/Δt‘den v‘yi, Δr/Δs‘den teğet birim vektör U‘yi verdiğine göre aşağıdaki şekilde düzenlenebilir.

Gokmekanigi_hiz4

Böylelikle hız ile teğet birim vektör arasında bir ilişki yakaladık. İvme, hızın zamana göre türevi olduğundan bu ifadenin türevini alarak ivmeyi de bulabiliriz.

Gokmekanigi_ivme4

Burada UT‘nin zamana göre türevinin ne olduğunu incelemeliyiz. P noktasından P’ noktasına C eğrisi boyunca ilerlerken, UT değeri ΔUT kadar değişir.

Gokmekanigi_ut

Burada denklemin solunda verdiğimiz UT‘nin türevi, P noktasından P’ noktasına C eğrisi boyunca hareket sırasında UT‘ye dik bir vektördür. Aynı zamanda;

Gokmekanigi_ut2

ifadesi P noktasında C eğrisinin eğrilik şiddetini ifade eder. Bunun ne anlama geldiğini birazdan daha açık bir biçimde göreceğiz. p eğrilik yarıçapı olmak üzere

Gokmekanigi_ut3

Burada UN birim normal vektördür ve eğrinin konkav tarafına yönlenmiştir. Sonuç olarak bu ifadeyi yerine yazdığımızda genel ifademizin düzenlenmiş hali aşağıdaki gibi olur.

Gokmekanigi_ut4

Şimdi elimizde daha rahat yorumlayabileceğimiz bir ifade var. Ubirim teğet vektörü Uise birim normal vektörü ifade ediyor. Böylelikle ivmeyi iki birim vektöre ayırmış oluyoruz. Bu bize yorum yapma olanağı sağlar.

Eğer ki çember üzerinde sabit bir hızla hareket ediyorsanız, yani v=c gibi bir sabit ise, sabit sayının türevi sıfır olduğundan bu durumda teğetsel bileşen ortadan kalkar ve geriye sadece normal vektörü kalır. Bu da bize; böyle bir durumda cismin, yarıçap boyunca merkeze doğru ivmeleneceğini söyler.

Tüm bunları yapmaktaki amacımızı hatırlayalım. Yeryüzünden gözlem yapıyoruz ve koordinatlar üzerinde çalışacağız. İşleri basitleştirmemiz gerek, öyle değil mi? Dolayısıyla kolay işlemler yapabileceğimiz kutupsal koordinatları kullanmak çok daha işlevsel olacaktır. Bir P(r,θ) noktası tanımlayalım.

Gokmekanigi_ut_ur

Sol üst köşede teğetsel bileşen, sağ alt köşede ise dikine bileşen gösteriliyor

İki adet birbirine dik birim vektör tanımladık: Ur dikine bileşen Uθ teğetsel bileşen. r konum vektörü olmak üzere aşağıdaki şekilde ifade edebiliriz.

Gokmekanigi_r

Böylelikle konum vektörümüzü de ifade etmiş olduk. Bundan sonra r’nin zamana göre türevinden hıza gidebilir, hızın türevinden de ivmeye gidebiliriz. Fakat burada görüyoruz ki, türev alırken Ur ifadesinin de türevi gelecek. Dolayısıyla öncelikle bu bileşenlerimizin tanımlamalarını yapmalıyız. Yukarıdaki şekilde sol üstte Uθ bileşeninin, sağ altta ise Ur bileşenin nasıl açıldığını görebiliriz. Öyleyse birim vektörlerimizi aşağıdaki şekilde yazabiliriz.

Gokmekanigi_ur_ut_bilesenler

r’nin türevlerini alırken yukarıda verdiğimiz bu ifadelerin de türevleri geleceği için öncelikle bunların türevlerine bakmamız gerekir. Açıkça görüyoruz ki, bu ifadeler birbirlerinin çok basit şekilde türevlerini ifade eder ve aşağıdaki şekilde yazılabilir.

Gokmekanigi_ur_ut_turev

Cisim P noktasından P’ noktasına giderken θ açısının değişeceğini görüyoruz. Dolayısıyla burada θ değerinin türevinin gelmesinin sebebi, θ açısının sabit bir açı değil zamana bağlı olarak değişen bir fonksiyon olmasından kaynaklanır. Artık birim vektörlerimizin de türev ifadelerini bildiğimize göre; konum vektörünün birinci türevinden hıza, ikinci türevinden de ivmeye ulaşabiliriz.

Gokmekanigi_r_ur_ut

Üstteki denklemdeki ifadeyi yerine yazar ve düzenlersek

Gokmekanigi_v_ur_ut

Böylece hız ve bileşenleri hakkında fikir edinmiş olduk. Eğer bu ifadenin de zamana göre türevini alırsak ivme ve bileşenleri hakkında fikir edinebiliriz.

Gokmekanigi_a_ur_ut_1

Bu ifadeyi düzenlersek;

Gokmekanigi_a_ur_ut_2

elde ederiz. Böylelikle ivme ve bileşenleri hakkında da fikir edinmiş olduk. İlerleyen konularda bu ifadeleri yorumlayarak ne gibi durumlarda neler olacağını, bize söylediklerini göreceğiz.

*Bazı yerlerde vektörleri belirtirken üzerine ok işareti koyarak vektör olduklarını vurgulamak zorunda kaldım. Bazılarında ise bu işaret yok. Bunun sebebi yazım için kullandığım programda bazı harfleri vurgulayamamış olmam. Normalde hiç vektör işareti kullanmayacaktım. Çünkü birim vektör içeren ifadelerden hangisinin vektör olduğunu rahatlıkla anlayabilirsiniz.

Katkılarından ve desteğinden ötürü Ege Üniversitesi Astronomi ve Uzay Bilimleri Bölümü’nde bize Gök Mekaniği dersini veren Can Kılınç hocamıza teşekkür ederiz.

Ögetay Kayalı

Hep daha fazla okumak gerekir...

Yazar Hakkında

Ögetay Kayalı

Ege Üniversitesi Astronomi ve Uzay Bilimleri öğrencisi. Çoğunlukla yıldız astrofiziği ile fizik ve matematiğin gündelik yaşantıdaki rolü üzerine yazıyor. Alanı dışında amatör olarak fotoğrafçılık, resim, programlama, mekanik, elektronik ve biyokimya ile ilgileniyor. Kozmik Anafor’dan ayrılmış, şu an www.rasyonalist.org sitesinde yazarlık yapmaktadır.