Fizik / Astrofizik Tüm Yazılar

Çift Yıldızlar 4: Kütle Tayini

Hazırlayan: Ögetay Kayalı

Çift yıldız sistemlerinde yıldızlar ortak kütle merkezi etrafında hareket yaparlar. Çiftlerin yarıçaplarının bulunması ile ilgili konumuzda da kabul ettiğimiz gibi işimizin kolay olması adına bu yazımızda da yörüngelerini çembersel kabul edeceğiz. Yani yıldızların yörüngelerindeki herhangi bir anda hızlarının eşit olduğunu varsayacağız. (Bknz. ) Aynı zamanda tayfsal çiftler üzerinden gideceğimiz hesaplama yıldızın radyal hızına bağlı olduğundan, yörünge düzlemine paralel baktığımızı düşüneceğiz.

Çift Yıldızlarda Kütle Tayini

Kutle1

(1) Kütle ile yörünge yarıçapı arasındaki ilişki

Her sistemde olduğu gibi çift yıldız sistemi de ortak kütle merkezi etrafında dolandığından aşağıdaki gibi bir ifade kullanabiliriz.

Az önce kabul ettiğimiz üzere yörüngeler çembersel olduğundan, yıldızın herhangi bir konumundaki hızı hep aynıdır. Dolayasıyla bileşenlerin hızlarını aşağıdaki şekilde ifade edebiliriz.

Kutle2

(2) Yörünge hızlarının yörünge yarıçapı(d) ve periyot(P) cinsinden ifadesi

Eğer denklem (1) ve (2) arasındaki ortak parametre olan yörünge yarıçaplarından(d) faydalanarak bir orantı yazacak olursak,

Kutle3

(3) Bileşenlerin hızları(V), yörünge yarıçapları(d) ve kütleleri(M) arasındaki orantı

Bu orantıdan anlıyoruz ki, bileşenlerden kütlesi büyük olan kütle merkezine daha yakın bir yerde daha yavaş bir hızla dolanma hareketi yapıyor.

Tayfsal çiftler birbirleri etrafında dolanırken bileşenler bize yaklaşıp uzaklaşma hareketi yapar, dolayısıyla Doppler Kayması gözleriz. (Başlangıçta da belirttiğimiz gibi radyal hızı etkilememesi ve hesabımızı kolaylaştırması için yörünge düzlemine paralel baktığımızı varsayıyoruz) Bknz.Tayfsal Çift

Kutle4

(4) Tayftaki çizginin kayma miktarının yörünge hızı cinsinden ifadesi

Dolayısıyla yörünge üzerinde birisi yaklaşırken diğeri uzaklaşır, fakat en uygun konumda kayma miktarları maksimum iken, radyal bileşenler de maksimumdur. Dolayısıyla her bileşenin yörünge hızı cinsinden,

Kutle5

(5) (j=1, 1.bileşen; j=2 2.bileşen olmak üzere)

Şeklinde ifade edilebilir. Eğer (1) denklemini 2π /P ile çarparsak

Kutle6

(6) Buradan yola çıkarak hızlarla bağıntılı hale getiririz

Bağıntısını elde ederiz. Bunu uygun şekilde düzenlersek,

Kutle7

(7) Kütleler ve hızlar arasındaki orantı

(5) denklemi ile bir orantı yapacak olursak, yörünge hızının her yerde aynı olmasından ötürü,

Kutle8

(8) Kütleler(M), hızlar(V) ve dalgaboyları ile dalgaboylarındaki kayma arasındaki oran

Şeklinde ifade edebiliriz. Denklemden de anlıyoruz ki az önce bahsettiğimiz gibi, kütleler yörünge yarıçaplarını bu da hızlarını, hızları da tayftaki kayma miktarlarını belirliyor.

Şimdi farklı bir noktaya odaklanalım ve yıldızların hareketine bakalım. Bileşenler birbirleri üzerilerine düşmediklerine göre kütle çekim kuvvetleri ile merkezkaç kuvvetleri arasında bir denge olmalıdır.

Kutle9

(9) Kütleçekim ile merkezkaç kuvveti arasındaki ilişki

Burada d, bileşenler arasındaki uzaklıkların toplamıdır. (d=d1+d2) Eğer V için geçerli yukarıdaki tanımı yerine yazarsak,

Kutle10

(10) Çizgisel hız yerine yörünge uzunluğu bölü periyot ifadesini koyuyoruz

İfadeyi düzenlersek,

Kutle11

(11) Düzenlenmiş hali

(1) numaralı denklemde biraz oynama yapıp her iki tarafa da 1 eklersek,

Kutle12

(12) denklem(1)’e 1 ekledik

Kutle13

(13) İfadeyi biraz düzenleyip d1+d2 yerine d yazdık

Kutle14

(14) Yukarıdaki(13) numaralı denklemde soldaki ifade ile sağdakini eşitledik

Denklem (11) ile (14)’deki ifadeler birbirine eşittir. Eğer eşitleyip düzenlersek,

Kutle15

(15) Keplerin 3. Yasası’nı elde etmiş olduk

Bu denklem Kepler’in 3. Yasasıdır. Özetle kütleler toplamını, yörünge periyodu ve birbirleri arasındaki mesafeyle bulabileceğimizi ifade eder.

(2) numaralı denklemi yeniden düzenlersek,

(16) bu denklem (2)nin düzenlenmiş halidir

(16) bu denklem (2)nin düzenlenmiş halidir

Tekrar Doppler Yasası’nı dahil edip (5) denklemi yerine yazdığımızda,

(17) Doppler Yasası'nı yerine koyduk

(17) Doppler Yasası’nı yerine koyduk

Her tarafın küpünü alırsak,

(18) Her tarafın küpünün alınmış hali

(18) Her tarafın küpünün alınmış hali

Eğer (8) numaralı denklemi Kepler Yasası’nda yerine yazarsak,

(19) İfade içeriye dağıtıldığında verilmiş denklemi elde ederiz

(19) İfade içeriye dağıtıldığında verilmiş denklemi elde ederiz

(18) numaralı denklemi yerine koyarsak,

Kutle20

(20) Denklemimiz elde edilir

Sonuç olarak bileşenin kütlesini, dalgaboyundaki kayma ve dolanma periyodu cinsinden buluruz.

Ögetay Kayalı

Kaynak – Teşekkür
Astrofiziğe Giriş – Mutlu Yıldız

 

Hep daha fazla okumak gerekir...

Yazar Hakkında

Ögetay Kayalı

Ege Üniversitesi Astronomi ve Uzay Bilimleri öğrencisi. Çoğunlukla yıldız astrofiziği ile fizik ve matematiğin gündelik yaşantıdaki rolü üzerine yazıyor. Alanı dışında amatör olarak fotoğrafçılık, resim, programlama, mekanik, elektronik ve biyokimya ile ilgileniyor. Kozmik Anafor’dan ayrılmış, şu an www.rasyonalist.org sitesinde yazarlık yapmaktadır.