Fizik / Astrofizik Popüler Bilim Tüm Yazılar

Limit – Türev – İntegral

Hazırlayan: Eyüp Gürses
Facebooktwittergoogle_plusredditlinkedintumblrmail

Limit, türev ve integralin ilk olarak geometrik tanımlarını vererek sizin daha iyi anlamanızı sağlayacağız ve ardından bunları biraz matematikle süsleyip önünüze sereceğiz.

Bir fonksiyonun limiti nasıl bulunur? Limit nedir? Bunun calculus derslerinde duyduğumuz tanjant çizgisi ve eğimle ne alakası var? Türev nedir? Limitle ne ilgisi var? Nerede kullanılırlar? İntegral ne işe yarar vb soruları cevaplayacağız.

En basitinden aşağıdaki şu fonksiyonu ele alalım:

Değişimi bulmak önemlidir çünkü her şey değişir. En basitinden işe, eve yahut okula giderken belli bir yolu belli bir zamanda alırız ve aldığımız yol zamanın bir fonksiyonudur . Bunun, bahsedeceğimiz konularla çok yakından ilgisi var.

Eğer yukarıdaki fonksiyon gibi fonksiyonlarda belli bir noktadaki ortalama değişimi bulmak istiyorsanız; y=f(x) fonksiyonunun y ve x’in değişimlerine bakıp kolayca söyleyebilirsiniz. x=x0  için y=f(x0)’dır ve x0 daki Δ kadarlık değişimi h ile gösterirsek, x=x0+h için y=f(x0+h)’tır. Bunun zamana göre yol grafiği olduğunu düşünelim ve sizin ortalama hızınızı bulmak için bu değişimi nasıl kullanacağımıza bakalım:

x0 ve x0+h aralığında ki ortalama hızınız için Δf/Δx bağıntısını kullanabilirsiniz. Buradan kolayca ortalama hızınızı (f(x0+h)-f(x0))/(x0+h-x0)= (f(x0+h)-f(x0))/h) olarak bulursunuz hatta bu fonksiyonun sekant çizgisidir. Buraya kadar kolaydı ve ortalama olan şeyleri bulmak kolaydır zaten. Peki anlık değişimleri nasıl bulabilirsiniz?

(x0+h)’ın fonksiyonu kestiği noktaya Q ve x0’ın fonksiyonu kestiği noktaya P diyelim. Bizim de işimiz gücümüz yok tabii, x0’da ki anlık değişimi bulup anlık hızımızı öğrenmek istiyoruz…

(f(x0+h)-f(x0))/h) fonksiyonu bizim ortalama hızımızı verir. Yalnız, Q noktasını P noktasına öyle çok yaklaştırırsanız ve aradaki mesafe 0’a yaklaşırsa, bu seferde anlık hızımızı buluruz. Yani x0’daki teğetin eğimini elde etmiş oluruz ki, bu da fonksiyonun x0’daki türevidir ve f’(x0) olarak gösterilir. Yani siz zamanı ne kadar azaltırsanız (Q noktasını P noktasına ne kadar çok yaklaştırırsanız) bu size anlık şeyler hakkında daha iyi bir fikir verir ve 0’a çok çok yakınken 0 gibiyken anlık değerler veririr.

Türev

Yukarıdaki notasyonlar eğimin ne olduğunu söyler bu da belli noktadaki türevdir yani x->0’a giderken limitin aldığı değerdir.

Geldik integralin ne olduğunu anlatmaya. İntegral genel olarak fonksiyonun altında kalan alanı, o fonksiyonun  hacmini, belirli bir eksen etrafında belli bir derece döndürdükten sonra oluşan hacmi gösterir.

Bu fonksiyonu ele alalım bu sefer de fonksiyonun x-eksenindeki iki nokta x ve x+h olsun, eğer altındaki alanı hesaplamak isterseniz yukarıdaki kırmızı dikdörtgen gibi dikdörtgenler çizip bunu lisede gördüğünüz sigma notasyonunda ifade edip toplamı bulursunuz. Ama fark ettiğiniz gibi toplam kesin olmaz. Ancak h mesafesini gittikçe sıfıra yaklaştırırsak ve bu ufacık dikdörtgenlerin alanlarını toplarsak bu bize tam anlamıyla y=f(X) fonksiyonunun altındaki alanı verir. Gösterimi de aşağıdaki gibidir:

Eyüp Gürses

Kapak fotoğrafı: Nancy (mathbff)
https://www.youtube.com/watch?v=jlLlxgwCt6o

Hep daha fazla okumak gerekir...

Yorum

Yazar Hakkında

Eyüp Gürses