Fizik / Astrofizik Tüm Yazılar

Özel Görelilik 2: Lorentz Dönüşümleri

Hazırlayan: Taylan Kasar

Özel ve genel göreliliğin omurgasını oluşturan Lorentz dönüşümleri Hollandalı fizikçi Hendrik Lorentz tarafından elektromanyetizma kuralları gereğince daha önceden bulunmuştur. Fakat o dönemlerde birçok fizikçi gibi Lorentz’in de ışığın yayılması konusundaki çalışmaları Eter maddesinin varlığı üzerinden şekillenmiştir.

Klasik elektromanyetik teorinin garipliklerinden biri ışık hızının vakumda sabit olduğunu söylemesidir. Şöyle ki; klasik mekanikte farklı referans sistemleri için hızlar eklenip çıkarılarak, görelilik yazı dizimizin bir önceki bölümünde bahsettiğimiz Galileo dönüşümleri kullanılıarak bulunmaktadır. Yani 80km/s hızla giden trenin içinde ileri doğru 3km/s hızla yürüyen yolcunun hızı 80+3 = 83km/s olmaktadır. Fakat trenin farlarından çıkan ışığın hızı = ışık hızı + 80km/s çıkmaktadır ki bu sonuç ışığın hızının sabit olduğunu söyleyen elektromanyetik teori ile çelişir. Bu problemi gidermek için fizikçiler Eter adında varsayımsal bir madde ortaya atmışlar ve yıllarca farklı Eter hipotezleri geliştirerek pratikte kullandıkları bu iki sistemi birbirleriyle bağdaştırmaya çalışmışlardır.

Eter hipotezlerinin sonuncularından diyebileceğimiz çalışmayı ise bu konuda inancını yitirmeyen Lorentz yapmıştır. Eteri hareketsiz bir sistem olarak ele almak ve yorumlamak ister. Elektromanyetizmanın temellerini oluşturan Maxwell denklemlerinin bazılarının Eter’den hareketli bir referansa geçildiğinde değişmez olduklarını gösterebileceği bir dönüşüm formulü üzerinde çalışmaya başlar ve zaman koordinatlarının değiştirilmesi gerektiğini farkeder.

1985 yılında “Yerel Zaman” adını verdiği eklentiyi kullanarak iki sistem arası dönüşüm için matematiksel bir çıkarım yapar. Buna göre mutlak zamanın geçerli olduğu Eterin içindeki madde bu mutlak zamana bağlı bir değişken olan yerel zamanda hareket etmektedir.

lorentz0001

Denklemde;

  • T’ = yerel zaman,
  • T = mutlak zaman,
  • C = ışık hızı
  • V = cismin hızı
  • X = mesafe
  • Kök içindeki ifade ise Lorentz Faktörüdür.

C ışık hızı sabiti 1’dir. Eğer V hızını ışık hızının çok altında değerler alırsanız, kök içindeki V2/C2 ifadesi küçülmeye başlar. V’yi ufalttıkça pay azalır ve V2/C2 sıfıra yaklaşmaya başlar. Kök içindeki 1’den sıfıra yaklaşmakta olan V2/C2 yi çıkardığımızda 1’e oldukça yaklaşmış olan bir sayı ederiz ve bu sayı kök içinden dışarıya yine 1’e çok yakın olarak çıkar.

Denklemin üst kısmında ise X/C * V/C değerinde V/C’nin payı olan V’yi azalttıkça kesir sıfıra yaklaşmaya başlar. Bir sayının 0 ile çarpımı 0 olacağı için X/C * V/C çarpım işlemi de sıfıra yaklaşır ve üst kısımda geriye sadece T kalır.

Dolayısıyla denklemimiz eğer ışık hızından çok düşük hızlar kullanıyorsak T’ = T şeklinde sonuçlanacaktır. Bu ifadenin aslında Galileo dönüşümündeki zaman ifadesi olan T’ = T ile aynı olduğuna dikkat etmek gerekiyor.

Lorentz zaman dönüşümü ışık hızından çok düşük hızlarda Galileo dönüşümü ile yaklaşık aynı sonucu verir fakat hız ışık hızına yaklaştıkça referans sistemleri arasında zaman farkı oluşmaya başlar. Denklemde gerçekleşen bu zaman daralması sayesinde ışık hızı farklı referans sistemlerinde farklı hızlara çıkmaz, tutarsızlık göstermez.

Bu anlattığımız ifadenin açık anlatımı şudur: Eğer ışık hızından çok düşük (günlük bildiğimiz araba, uçak vs gibi) hızlarda hareket ediyorsanız; “yerel zaman” ile dışarıdan sizi izleyen gözlemcinin ölçtüğü “mutlak zaman” arasında kayda değer bir fark bulunmaz. Ancak, ışık hızına yaklaştıkça yerel zaman hareket halindeki cisim için belirgin oranda değişmeye başlar, dışardan bakan hareketsiz gözlemciye oranla yavaşlar.

Dolayısıyla yerel zamanı kendisi için yavaşlamış olan gözlemcimize göre ışık hızı sabitliğini korur. Yani, gözlemcimiz 0.9c (ışık hızının %90’ı) hızla hareket ederken, aracının farlarından çıkan ışığın 1.9c hızla hareket ettiğini değil, yine 1c hızla hareket ettiğini ölçümler. Hız; “birim zaman içinde alınan yol” olduğuna ve hareket halindeki gözlemcimiz için zaman yavaşladığına göre, ışığın hızını hep sabit olarak ölçmesi doğaldır.

lorentz0002

Lorentz yol dönüşümleri de benzer bir şekilde Galileo dönüşümlerine indirgenebilme özelliğine sahiptir. Denklemin payda kısmında kök içinde bulunan ifade benzer bir şekilde küçük hızlarda sıfıra yaklaşırken, pay kısmındaki X – V*T ifadesi de V*T sıfıra yaklaşacağı için geriye X i bırakır. Sonuç olarak düşük hızlarda X’ = X olur.

Eğer tek boyutlu bir hareket yapılıyorsa, yani tek bir doğrultuda gidiliyorsa, Y ve Z koordinatları için Y’=Y ve Z’=Z eşitlikleri yazılabilir fakat hareket 3 boyutta da yapılmaktaysa diğer koordinatlarda da X koordinatı için yazdığımız denkem şeklinde olur.

Referans sistemimize tersten, bir gözlemciymiş gibi bakmak istersek; T’ zamanını ve X’, Y’, Z’ boyutlarını denklemde eşitliğin karşı tarafına geçirip Ters Lorentz Dönüşümlerini uygularız ve denklemlerimiz şu şekilde olur.

lorentz0003

Fizik yasalarının dönüşümler sırasında değişmez olduğu konusuna oldukça önem veren Fransız matematikçi, fizikçi ve bilim felsefecisi olan Henri Poincarê, Lorentz’in bulduğu dönüşümleri modern formuna sokmuş ve bütün Maxwell denklemlerinde de dönüşümler sonucu değişmezliğini göstererek özel göreliliğe doğru giden yolda önemli bir adımı tamamlamıştır.

Poincarê 1898’de yazdığı bir yazıda bu dönüşüm denklemlerinin salt matematiksel olarak ifade ettiklerinin tek başlarına bir anlamı olmadığını, esasen fiziksel açıdan daha derin çıkarımlara gebe olduğunu belirtmiştir. Ayrıca dönüşümlerin öngörüsü olarak diğer bilim isanlarının ve yeni teorilerin ışık hızı artık sabit almaları gerektiğini söyler.

Lorentz bu dönüşüm denklemlerini mutlak zamanın işlediği referans sistemi olan Eter hipotezi üzerinden kurmuş ve Michelson-Morley deneyindeki sonucun denklemlerindeki uzunluk daralması ile örtüştüğünü söylemiştir. Fakat Poincarê artık mutlak zaman ve uzayın olamayacağını, Eter’in artık metafizik bir anlam kazandığını, deneysel olarak yanlışlanıp ispatanamayacağını, fizikçilerin Eter hipotezlerini terketmeleri gerektiğini belirtmiştir.

Taylan Kasar

Yazı dizimizin diğer bölümleri için:

1) Referans Sistemleri

2) Lorentz Dönüşümleri

3) Michelson – Morley Deneyi

4) Zaman Genişlemesi ve İkizler Paradoksu 

5) Boy Kısalması 

6) Kütlenin ve Momentumun Göreliliği

Hep daha fazla okumak gerekir...

Yazar Hakkında

Taylan Kasar

İstanbul Üniversitesi Astronomi ve Uzay Bilimleri’nde öğrencidir. ilerihaber.org ve evrimselantropoloji.org sitelerinde güncel bilim haberleri çevirisi yapmaktadır.