Çift Yıldızlar 4: Kütle Tayini

Çift yıldız sistemlerinde yıldızlar ortak kütle merkezi etrafında hareket yaparlar. Çiftlerin yarıçaplarının bulunması ile ilgili konumuzda da kabul ettiğimiz gibi işimizin kolay olması adına bu yazımızda da yörüngelerini çembersel kabul edeceğiz.

Yani yıldızların yörüngelerindeki herhangi bir anda hızlarının eşit olduğunu varsayacağız. (Bknz. ) Aynı zamanda tayfsal çiftler üzerinden gideceğimiz hesaplama yıldızın radyal hızına bağlı olduğundan, yörünge düzlemine paralel baktığımızı düşüneceğiz.

Çift Yıldızlarda Kütle Tayini

Her sistemde olduğu gibi çift yıldız sistemi de ortak kütle merkezi etrafında dolandığından aşağıdaki gibi bir ifade kullanabiliriz.

Az önce kabul ettiğimiz üzere yörüngeler çembersel olduğundan, yıldızın herhangi bir konumundaki hızı hep aynıdır. Dolayasıyla bileşenlerin hızlarını aşağıdaki şekilde ifade edebiliriz.

Eğer denklem (1) ve (2) arasındaki ortak parametre olan yörünge yarıçaplarından(d) faydalanarak bir orantı yazacak olursak,

Bu orantıdan anlıyoruz ki, bileşenlerden kütlesi büyük olan kütle merkezine daha yakın bir yerde daha yavaş bir hızla dolanma hareketi yapıyor.

Tayfsal çiftler birbirleri etrafında dolanırken bileşenler bize yaklaşıp uzaklaşma hareketi yapar, dolayısıyla Doppler Kayması gözleriz. (Başlangıçta da belirttiğimiz gibi radyal hızı etkilememesi ve hesabımızı kolaylaştırması için yörünge düzlemine paralel baktığımızı varsayıyoruz) Bknz.Tayfsal Çift

Dolayısıyla yörünge üzerinde birisi yaklaşırken diğeri uzaklaşır, fakat en uygun konumda kayma miktarları maksimum iken, radyal bileşenler de maksimumdur. Dolayısıyla her bileşenin yörünge hızı cinsinden,

Şeklinde ifade edilebilir. Eğer (1) denklemini 2π /P ile çarparsak

Bağıntısını elde ederiz. Bunu uygun şekilde düzenlersek,

(5) denklemi ile bir orantı yapacak olursak, yörünge hızının her yerde aynı olmasından ötürü,

Şeklinde ifade edebiliriz. Denklemden de anlıyoruz ki az önce bahsettiğimiz gibi, kütleler yörünge yarıçaplarını bu da hızlarını, hızları da tayftaki kayma miktarlarını belirliyor.

Şimdi farklı bir noktaya odaklanalım ve yıldızların hareketine bakalım. Bileşenler birbirleri üzerilerine düşmediklerine göre kütle çekim kuvvetleri ile merkezkaç kuvvetleri arasında bir denge olmalıdır.

Burada d, bileşenler arasındaki uzaklıkların toplamıdır. (d=d1+d2) Eğer V için geçerli yukarıdaki tanımı yerine yazarsak,

İfadeyi düzenlersek,

(1) numaralı denklemde biraz oynama yapıp her iki tarafa da 1 eklersek,

Denklem (11) ile (14)’deki ifadeler birbirine eşittir. Eğer eşitleyip düzenlersek,

Bu denklem Kepler’in 3. Yasasıdır. Özetle kütleler toplamını, yörünge periyodu ve birbirleri arasındaki mesafeyle bulabileceğimizi ifade eder.

(2) numaralı denklemi yeniden düzenlersek,

Tekrar Doppler Yasası’nı dahil edip (5) denklemi yerine yazdığımızda,

Her tarafın küpünü alırsak,

Eğer (8) numaralı denklemi Kepler Yasası’nda yerine yazarsak,

(18) numaralı denklemi yerine koyarsak,

Sonuç olarak bileşenin kütlesini, dalgaboyundaki kayma ve dolanma periyodu cinsinden buluruz.

Ögetay Kayalı

Kaynak – Teşekkür
Astrofiziğe Giriş – Mutlu Yıldız