KOZMİK ANAFOR
Evrenin Keşfi Fizik / Astrofizik Köşe Yazıları Kozmik Anafor Arşivi Popüler Bilim

Serbest Kuantum Parçacığın Lokalliğini Kaybettiğinin Matematiksel İspatı

Görsel Kaynağı: R. David Dixon Jr.
Bu yazıyı yaklaşık 2 dakikada okuyabilirsiniz.
Eyüp Gürses

Bu yazımızda, kuantum dünyasında üzerine hiçbir kuvvet etki etmeyen bir parçacığın bile lokalliğini kaybettiğinin layman terimleriyle ispatını göstereceğiz.

Kuantum fiziğinin temel taşlarından birisi belirsizlik ilkesidir ve bu ilke matematiksel olarak operator algebrasını ve olasılık-istatistik teorisini temel almaktadır. Kuantum fiziğinde pozisyon, linear momentum, açısal momentum vb. tarzda fiziksel olarak ölçülebilir terimler operatör olarak ele alınır bunu en basit düzeyde matrix olarak düşünebilirsiniz. Ancak bu düşünce belli bir noktaya kadar doğrudur; çünkü gerçekte bunun içine tensörler ve spinörler de girebilir. Hamiltonian bir sistemin total enerjisini verir ve aşağıdaki gibi gösterilebilir:

Burada H: Hamiltonian, T: kinetik enerji ve V: potansiyel enerjiyi temsil eder ve bütün bu terimler birer operatördür. Üzerine herhangi bir kuvvet etmeyen parçacığın Hamiltonian’ı aşağıdaki gibi yazılır:

Parçacığın momentumu ile pozisyonunun;

commutation ilişkisi:

Burada;

ise kronecker delta yani i=j olduğu takdirde

ve eşit olmadığı zamanlar 0 demektir. Anlatılmak istenen pozisyon ve momentumun farklı koordinatlarda commute etmesidir. Yani daha açık olmak gerekirse; bir parçacığın x doğrultusundaki momentumunu ve y doğrultusunda ki konumunu ölçmenizde bir belirsizlik yoktur. Aşağıda bahsedeceğimiz commutation ilişkilerinin ispatının layman terimleri ile anlatılması zor olduğundan size doğrudan sonuçları vereceğiz. Ardından yavaş yavaş üzerine hiçbir kuvvet etki etmeyen parçacığın lokalliğini nasıl kaybedeceğini göstereceğiz.

Hamiltonian sadece momentum operatörüne bağlı olduğundan dolayı momentum operatörü ve Hamiltonian operatörü commute eder ve kütle bir operatör değildir. Bu yüzden kütle commutation ilişkisi dışına çıkarılabilir ve sonuç:

Bildiğimiz üzere p=mv aşağıdaki gibi yazılabilir:

Başlarda yaptığımız açıklamada açık olduğu gibi, aşağıdaki commutation ilişkilerini farklı koordinatlar arasında yazabiliriz:

Fakat fark edildiği gibi bunlar bize farklı zamanlardaki pozisyon operatörlerinin commutation ilişkisinde ne gibi bir sonuç vereceğini söylemiyor. Ancak hesaplaması da zor değil:

Heisenberg belirsizlik ilkesi aşağıdaki kompakt formunda yazılabilir:

Ve bu kuantum dünyasında bir parçacığın üzerine hiçbir kuvvet etki etmese bile bu parçacığın lokalliğini kaybedeceğinin çok basit bir ispatıdır.

Eyüp Gürses

Hep Daha Fazla Okumak Gerek

20. yy’ın Savaş Bitiren Dahisi: Alan Turing ve Turing Ödülleri

Ece Özen

Düşünce Deneyi Nedir?

Taylan Kasar

Sicim Teorisi Basitçe Nedir?

Kozmik Anafor

Gerçek Hayat Düzeyinde Kuantum Mekaniği

Eyüp Gürses

İskenderiyeli Hypatia

Sena Betül Erdemir

Dünya’nın En Büyük Matematik Problemi Çözüldü

Ece Özen