KOZMİK ANAFOR
Fizik / Astrofizik Kozmik Anafor Arşivi

Maxwell Denklemlerinin Zorlaştırılarak Basitleştirilmesi

(Görsel Kaynağı: https://learnodo-newtonic.com/maxwell-contributions)
Bu yazıyı yaklaşık 2 dakikada okuyabilirsiniz.
Eyüp Gürses

Bu yazı boyunca Maxwell denklemlerini homojen ve homojen olmayan ortamlarda basitleştireceğiz. Öncelikle bilinmesi gereken tabii ki de bu Maxwell denklemlerinin neler olduğu. Bu denklemler vektör calculus’ünden bildiğimiz curl ve divergence operatörleri ile ifade edilir.

Maxwell denklemlerinin astrofizikteki kullanım alanlarını görmek için bu yazımızı okumalısınız.

Basitçe yazmak gerekirse:

Bu denklemleri 2 denklemde yazabilmek için 4-vektör ve tensör konseptini kullanmamız gerekiyor. 4-vektör potansiyellerini aşağıdaki gibi tanımlıyoruz. Bunu ilk olarak contravariant vektörler için yapacağız ve sonra da covariant vektörler için yapacağız. (Bu vektörler üzerine daha derinlemesine bilgi almak isteyen okuyucular diferansiyel geometri ve tensör calculus kitaplarından bu bilgileri elde edebilirler.)

Burada kullanılan;ve;

gibi terimler sırasıyla elektrodinamikten aşina olduğumuz skalar ve vectör potansiyelleri gösteriyor. Covariant 4-vectör ise aşağıdaki gibi yazılabilir:

Yukarıdaki formülün skalar potansiyelinin -1 ile çarpıldığını göreceksiniz ki bu metrik tensör ile (contraction) daraltılmasından kaynaklanmaktadır. Lorentz transformasyonuyla:

Elektrik ve manyetik alanlar daha önceden tanıttığımız skalar ve vektör potansiyelleri yardımıyla yeniden yazılabilir:

Yazının en başında curl ve divergence terimlerini tanıtmış olsak da yukarıda ki ilk denklemde skalar potansiyele uygulanan operatör gradient operatörüdür ve divergence ile karıştırılmamalıdır. En basitinden açıklamak gerekirse, divergence ve curl operatörleri skalar potansiyele uygulanmaz. Aynı şekilde gradient operatörü de vektör potansiyele uygulanamaz.

Şimdi geldik rank 2 elektromanyetik tensörü tanımlamaya… Burada rank kavramı tensörün indislerinin sayısına işaret ediyor. Ancak bu yanlış anlaşılmamalı. Mesela, indislerin eşit olduğu durum ele alınırsa bu tensör skalara veya trace’e dönüşür. Şimdi elektromanyetik tensörümüzü şu şekilde yazabiliriz:

Burada;

sırasıyla satır ve sütun elementlerini gösteriyor. Covariant electromanyetik tensörü, contravariant EM tensörünü iki metrik tensörle daraltarak (contraction) aşağıdaki gibi rahatlıkla elde edebiliriz:

Lorentz transformasyonuyla:

Yukarıdaki formül ile elektrik ve manyetik alanların hareket eden referans sisteminde nasıl etkilendiğini görebilirsiniz. Yalnız burada dikkat etmeniz gereken şey Einstein summation yani contraction bir diğer deyişle aynı iki indisi hem covariant hem de contravariant olarak gördüğünüz anda bu indisleri misal i=0, 1, 2, 3 boyunca toplamalısınız. Basit bir örnek vermek gerekirse:

Ve burada yapılması gereken Christoffel sembollerinin ρ üzerinde ρ=0, 1, 2, 3 üzerinde toplanmasından başka bir şey değildir. Yukarıda yazılmış olan Christoffel sembolleri hiç de önemsiz bir örnek değildir çünkü uzay-zamanın eğriliği bu sembollerin içinde gizlidir; tabii ki daha komplike formlarda. Artık Einstein summation yöntemini de bildiğinize göre Maxwell denklemlerini basitçe 4 denklemden 2 denkleme indirgeyebiliriz. Yalnız öncelikle Levi-Civita sembolünü tanıtmamız gerekir:

Çifteş (dual) electromanyetik tensor aşağıdaki gibi Levi-Civita sembolünün yardımıyla tanımlanabilir:

Maxwell denklemlerinin 4 denklemden 2 denkleme indirgenmiş hali aşağıdaki gibidir:

Burada birinci denklem, yazımızda en başta yazdığımız Maxwell denklemlerinde birinci ve ikincisini, ikinci denklem ise üçüncü ve dördüncüsünü içinde barındırmaktadır.

Hazırlayan: Eyüp Gürses

Hep Daha Fazla Okumak Gerek

Üçgenin İç Açılarının 180 Derece Olmadığı Geometri: Küresel Geometri

Süleyman Yeşil

Güneş Fiziği: Kelebek Diyagramı

Süleyman Yeşil

Serbest Kuantum Parçacığın Lokalliğini Kaybettiğinin Matematiksel İspatı

Eyüp Gürses

İ.Ü Fizik Kulübü 7. Fizik Çalıştayı

Kozmik Anafor

Compton Saçılması

Taylan Kasar

Uçakları Uçuran Güç: Bernoulli Prensibi

Umut Aktepe